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LIMITES

Definición de límite y continuidad de una función.


\begin{dff} (Heine) \\ Se dice que una funci\'on $f:A\mapsto \mbox{${\mathbb{R}... ...tarrow \displaystyle \lim_{n\to\infty} f(x_n)=l . \end{displaymath} \end{dff}

Figura 22: Definición de límite según Heine
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{c} \epsfysize =5cm \epsffile{limite-h.eps}\end{tabular}\end{center}\end{figure}

\begin{dff} (Weiersstras)\\ Se dice que una funci\'on $f:A\mapsto \mbox{${\math... ...htarrow \hspace{.5cm} \vert f(x)-l\vert<\epsilon . \end{displaymath} \end{dff}
Es decir que $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=l$ si y sólo si cualquiera sea el entorno $U(l)$ de $l$ que escojamos, existe un entorno $U_a(a)$ de $a$, que no contiene a $a$ tal que $f(U_a(a))\subset U(l)$ (ver la figura 23).

Figura 23: Definición de límite según Weierstrass
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{c} \epsfysize =5cm \epsffile{limite.eps}\end{tabular}\end{center}\end{figure}

\begin{teorema} % latex2html id marker 3992Las definiciones de Heine \ref{def-hei} y Weierstrass \ref{def-wei} son equivalentes. \end{teorema}

\begin{dff} Diremos que una funci\'on es continua en $x=a\in\mathrm{Dom}(f)$(pun... ...x=a$ y \begin{displaymath} \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \end{displaymath}\end{dff}

\begin{dff} Si una funci\'on $f:A\mapsto\mbox{${\mathbb{R}}$} $ no es continua en un punto $x=a$ se dice que es discontinua. \end{dff}
Existen cuatro tipos fundamentales de discontinuidad:
Discontinuidad evitable
Esta discontinuidad tiene lugar si existe el límite $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=l$ pero la función en $x=a$, o no está definida, o $f(a)$ no coincide con el límite $l$. Es evitable pues en $x=a$ podemos redefinir la función $f$ de la tal forma que $f(a)=l$.
Figura 24: Función con discontinuidad evitable en $x=a$.
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{c} \epsfysize =5cm \epsffile{dis-evi.eps}\end{tabular}\end{center}\end{figure}
Discontinuidad no evitable (o escencial) de salto finito
Esta discontinuidad tiene lugar si existen los límites laterales $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=l_1$ y $\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)=l_2$ existen pero son diferentes. Por tanto, no existe el límite de $f$ en $x=a$. Además en este caso es imposible redefinir la función $f$ de la tal forma que $l_1=l_2$.
Figura 25: Función con discontinuidad de salto finito en $x=a$.
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{c} \epsfysize =5cm \epsffile{dis-sal-fin.eps}\end{tabular}\end{center}\end{figure}
Discontinuidad no evitable (o escencial) de salto infinito
Esta discontinuidad tiene lugar si alguno de los límites laterales es igual a $\pm\infty$, o sea, si $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)=\pm\infty$ o $\displaystyle \lim_{x\to a-}f(x)=\pm\infty$. Por tanto, no existe el límite finito de $f$ en $x=a$. Además en este caso también es imposible redefinir la función $f$.
Figura 26: Función con discontinuidad de salto infinito en $x=a$.
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{c} \epsfysize =5cm \epsffile{dis-sal-inf.eps}\end{tabular}\end{center}\end{figure}
Discontinuidad no evitable (o escencial)
Este caso corresponde cuando la función esta bien definida en todo el entorno de $a$ pero no existen los límites laterales (no son siquiera $\pm\infty$).
Figura: La función $\sin \frac 1x$ en $[-1,1]$ (izquierda) y en $[-\frac1{10},\frac1{10}]$ (derecha).
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{cc} \epsfysize =3.7cm \epsffile{sen... ...ad \epsfysize =3.7cm \epsffile{sen1x-2.eps}\end{tabular}\end{center}\end{figure}
Muy distinto es el caso de la función $f(x)=x\sin\frac1x$, $x\neq 0$, $f(0)=0$.
Figura: La función $x\sin \frac 1x$ en $[-1,1]$ (izquierda) y en $[-\frac1{10},\frac1{10}]$ (derecha).
\begin{figure}\begin{center} \begin{tabular}{cc} \epsfysize =3.74cm\quad \epsff... ... \epsfysize =3.74cm \epsffile{xsen1x-2.eps}\end{tabular}\end{center}\end{figure}
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